Rendezvous nello spazio: il controllo impulsivo che guida satelliti verso incontri perfetti

Il problema: incontrarsi in orbita non è come parcheggiare un’auto

Immaginiamo due satelliti che orbitano intorno alla Terra su traiettorie ellittiche. Uno (il leader) segue il suo percorso naturale; l’altro (il follower) deve avvicinarsi con precisione millimetrica per ispezionarlo, rifornirlo o ripararlo. Questo è il problema del rendezvous spaziale: un balletto orbitale in cui ogni errore di calcolo può compromettere una missione o mettere a rischio entrambi i veicoli.

La sfida nasce dal fatto che nello spazio non si può “frenare” o “sterzare” in modo continuo come su strada o in aria. Le manovre avvengono attraverso brevi accensionindei propulsori, i cosiddetti impulsi di propulsione, che modificano istantaneamente lanvelocità del satellite. Ogni impulso consuma carburante prezioso: il controllo deve quindi essere non solo preciso, ma anche parsimonioso.

Negli anni, diversi modelli matematici hanno descritto il moto relativo tra due satelliti, ma per le orbite ellittiche (le più comuni) le equazioni diventano non stazionarie, cioè cambiano a ogni punto dell’orbita. Questo rende complesso progettare leggi di controllo semplici e affidabili.

L’idea chiave: cambiare punto di vista per rendere il problema più semplice

Il contributo di questa ricerca, svolta in collaborazione tra il Dipartimento di Ingegneria Industriale, il LAAS-CNRS (Toulouse, Francia) e la Universidad de Sevilla (Spagna), nasce da un’idea elegante: se si sceglie il sistema di coordinate giusto, anche un problema complicato come il rendezvous in orbita ellittica può diventare più gestibile.
Le investigazioni in corso, rilevanti nell’ambito del progetto “Space It Up!” finanziato dall’Agenzia Spaziale Italiana (ASI), si occupano di mettere a punto soluzioni in grado di essere implementate nel contesto di propulsioni vincolate da una massima e una minima spinta, garantita per ogni impulso autonomamente innescato dalla legge di controllo.

Usando la teoria di Floquet-Lyapunov, i ricercatori propongono una trasformazione periodica delle coordinate che “rende stazionario” il moto relativo tra i due satelliti. In pratica, questa trasformazione consente di riscrivere il sistema dinamico in una forma a coefficienti costanti, molto più semplice da analizzare e controllare. In queste nuove coordinate, il moto “libero” dei satelliti (cioè quando non vengono applicati impulsi) diventa un sistema lineare stazionario (Linear Time-Invariant).

È come se un’orchestra disordinata, in cui ogni strumento suona a un tempo diverso, diventasse improvvisamente sincrona grazie a un cambio di partitura. Questa rappresentazione semplificata consente di descrivere tutte le traiettorie periodiche possibili con pochi parametri costanti, aprendo la strada a strategie di controllo più interpretabili e con garanzie rigorose matematiche.

Il controllo impulsivo: guidare a colpi di propulsione

Una volta ottenuta la nuova formulazione, la seconda parte dello studio affronta il cuore del problema: come scegliere gli impulsi di propulsione per condurre il satellite “follower” nella regione desiderata vicino al “leader”. I ricercatori modellano il sistema come un sistema dinamico ibrido, in cui convivono due tipi di evoluzione:

• una continua, che descrive il moto orbitale naturale;
• e una discreta, che rappresenta gli impulsi, ossia variazioni istantanee di velocità.

Questo formalismo, ben noto nella teoria dei hybrid dynamical systems, permette non solo di simulare accuratamente le manovre, ma anche di dimostrare matematicamente la stabilità e la convergenza indotte dalle leggi di controllo proposte.

Nel lavoro vengono presentate tre diverse leggi di controllo impulsivo, ciascuna con un diverso equilibrio tra complessità. computazionale e consumo di carburante:

1. una più semplice, adatta a implementazioni onboard con risorse limitate;
2. una più sofisticata, che minimizza il consumo ma richiede più calcolo;
3. una nuova legge tri-impulsiva, capace di stabilizzare il moto desiderato garantendo sicurezza intrinseca durante i movimenti intermedi.

Questa varietà di approcci consente di adattare la metodologia a missioni con vincoli diversi: dai piccoli satelliti CubeSat fino ai veicoli più complessi destinati alla manutenzione orbitale.

Perché conta: verso missioni spaziali autonome e sicure

I risultati numerici mostrano che le leggi di controllo proposte riescono a guidare il satellite verso la sua orbita target anche considerando non-linearità e perturbazioni non incluse nel modello di progetto. In altre parole, la teoria funziona anche in una rappresentazione molto accurata del mondo reale. Questo approccio rappresenta un passo avanti verso il futuro delle missioni spaziali autonome, in cui i satelliti dovranno cooperare senza intervento umano diretto, per esempio per rifornire o riparare altri veicoli, rimuovere detriti spaziali, o formare costellazioni di satelliti coordinati.
L’uso del formalismo ibrido garantisce anche proprietà di tolleranza ai guasti e sicurezza, fondamentali per operazioni ravvicinate dove ogni centimetro conta.

In sintesi, la ricerca mostra come strumenti matematici avanzati come la teoria di Floquet-Lyapunov e i sistemi dinamici ibridi possano tradursi in strategie pratiche per la navigazione e il controllo dei satelliti, rendendo l’esplorazione spaziale più autonoma, efficiente e sicura.